幂级数是一种特殊的函数级数，形如下面的无穷级数： $$ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots $$ 其中 $x$ 是自变量，$a_n$ 是常数系数，称为幂级数的通项系数。幂级数的收敛性与自变量 $x$ 有关，可以在一定区间内收敛，…

正向级数是一个无穷级数的特殊类型，它由一系列非负实数项的和构成。具体来说，正向级数的一般形式可以表示为： $$ a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots $$ 其中，$a_1, a_2, a_3, \cdots$ 是非负实数项，表示级数的每一项，$n$ 是一个正整数，表示级数的前 $n$ 项之和。最后的省略号表…

二重积分的变量代换公式是指在二重积分中进行变量代换时，积分限和被积函数的变化关系的公式。设有变量代换$x=u(t,s), y=v(t,s)$，则二重积分的变量代换公式为： $$\iint_R f(x,y) dxdy = \iint_S f(u,v)\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(t,s)}\right| dt…

二重积分极坐标法求解的公式是通过对二重积分的直角坐标系下的积分区域进行极坐标变换，从而将二重积分转化为极坐标系下的积分形式得到的。 具体来说，假设被积函数为$f(x,y)$，要计算矩形区域$R$上的二重积分$\iint_R f(x,y) dxdy$，则可以进行如下变换： $$\iint_R f(x,y) dxdy = \int_{\theta_1}…

使用极坐标法对二重积分进行求解的前提是，被积函数具备一些特征，使得在极坐标系下的积分更加方便。这些特征包括： 1. 被积函数在直角坐标系下具备一定的对称性，例如函数关于$y=x$对称、关于$x$轴对称、关于$y$轴对称等。 2. 被积函数在极坐标系下具备一定的简单性质，例如被积函数可以表示为$r$的某个函数$f(r)$与$\theta$的某个函数$…

我们可以使用三角函数的基本性质来证明$\sin\left(\frac{x\pi}{2}\right)$和$\cos\left(\frac{(1-x)\pi}{2}\right)$相等，即： $$\begin{aligned}\sin\left(\frac{x\pi}{2}\right) &= \cos\left(\frac{\pi}{2}-\fra…