一阶非齐次线性微分方程的常数变易法（也称为常数变异法或常数变易法）是求解形如 $y' + p(x)y = q(x)$ 的微分方程的一种方法。其中，$p(x)$ 和 $q(x)$ 是已知函数，$y$ 是要求解的未知函数。 常数变易法的基本思路是，假设通解具有形式 $y(x) = u(x) \cdot v(x)$，其中 $u(x)$ 是待定的函数，$v…

拉格朗日乘数法是一种用于求解多元函数条件极值的常用方法。它的基本思想是将约束条件与目标函数合并，构造一个新的函数，并通过该函数的极值来求解原问题的条件极值。 下面是使用拉格朗日乘数法求解多元函数条件极值的详细步骤： 1. 给定一个目标函数 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 和 $k$ 个约束条件 $g_i(x_1,x_2,...,x_n)=…

具体来说，假设$z=f(x,y)$，而$x$和$y$又都是某个函数$u$的函数，即$x=g(u)$，$y=h(u)$，那么可以将$z$写成$z=f(g(u),h(u))$的形式。然后，可以依次对$g(u)$、$h(u)$和$f(x,y)$求偏导数，得到： $$ \frac{dz}{du}=\frac{\partial z}{\partial x}\…

1. 偏导数：当一个多元函数$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$关于其中一个自变量$x_i$求导时，其他自变量视为常数，得到的导数称为偏导数，记为$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。 2. 方向导数：当一个多元函数$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$在某一点$P_0$处沿着某个方向$\vec{v}=(…

1. 有界性：函数在该区域上取值有上下界，即存在常数$M$，使得对于任意点$(x_1,x_2,\dots,x_n)$，都有$|f(x_1,x_2,\dots,x_n)|\leq M$。 2. 最大值和最小值定理：函数在该区域上必定存在最大值和最小值。即存在点$x_{max}$和$x_{min}$，使得对于任意点$(x_1,x_2,\dots,x_n…

对于一个多元函数，如果它在某一点处的各个偏导数都存在且连续，那么称该函数在这一点处是可微的。而多元函数的全微分是指在可微的前提下，用函数的各个偏导数对自变量的微小变化进行线性逼近所得到的微分形式。具体来说，若$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$是一个$n$元函数，它在点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$处可微，则它在该点的全微分为：…