幂级数的和函数也被称为幂函数，是指幂级数在收敛域内的和。具体地，对于幂级数：

$$
\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots
$$

设 $R$ 是该幂级数的收敛半径，则当 $|x| < R$ 时，幂级数绝对收敛，因此可以定义幂函数： $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $$ $f(x)$ 就是该幂级数的和函数，它的定义域是 $(-R, R)$。 幂函数具有良好的性质，包括： 1. 幂函数在收敛域内连续。 2. 幂函数的导数可以通过逐项求导得到： $$ f'(x) = \sum_{n=1}^\infty na_n x^{n-1} $$ 3. 幂函数的不定积分可以通过逐项积分得到： $$ \int f(x) dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + C $$ 其中 $C$ 是积分常数。 幂函数在微积分、常微分方程等领域中具有重要的应用。例如，可以通过幂函数的性质来求解某些微分方程的初值问题。