## 原公式
$$ a^3 – b^3 $$

## 因式分解公式
$$ a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) $$

## 推导过程

1. 考虑两个数的立方差公式 $a^3 – b^3$。
2. 我们假设 $a = b$，那么 $a^3 – b^3 = 0$，这表明 $a – b$ 是 $a^3 – b^3$ 的一个因子。
3. 为了找到另一个因子，我们使用多项式除法，将 $a^3 – b^3$ 除以 $a – b$。

### 多项式除法
我们将 $a^3 – b^3$ 除以 $a – b$：

– 首先，我们考虑 $a^3$ 除以 $a$ 得到 $a^2$：
$$ \frac{a^3}{a} = a^2 $$
– 然后，将 $a^2$ 乘以 $a – b$ 得到 $a^3 – a^2 b$：
$$ a^2 (a – b) = a^3 – a^2 b $$
– 接着，用 $a^3 – b^3$ 减去 $a^3 – a^2 b$ 得到 $a^2 b – b^3$：
$$ (a^3 – b^3) – (a^3 – a^2 b) = a^2 b – b^3 $$

接下来：

– 考虑 $a^2 b$ 除以 $a$ 得到 $ab$：
$$ \frac{a^2 b}{a} = ab $$
– 将 $ab$ 乘以 $a – b$ 得到 $a^2 b – ab^2$：
$$ ab (a – b) = a^2 b – ab^2 $$
– 用 $a^2 b – b^3$ 减去 $a^2 b – ab^2$ 得到 $ab^2 – b^3$：
$$ (a^2 b – b^3) – (a^2 b – ab^2) = ab^2 – b^3 $$

最后：

– 考虑 $ab^2$ 除以 $a$ 得到 $b^2$：
$$ \frac{ab^2}{a} = b^2 $$
– 将 $b^2$ 乘以 $a – b$ 得到 $ab^2 – b^3$：
$$ b^2 (a – b) = ab^2 – b^3 $$
– 用 $ab^2 – b^3$ 减去 $ab^2 – b^3$ 得到 0：
$$ (ab^2 – b^3) – (ab^2 – b^3) = 0 $$

### 合并结果
通过多项式除法，我们得到了：
$$ a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) $$

## 最终结果
因此，$a^3 – b^3$ 的因式分解公式为：
$$ a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) $$